关于一致收敛的一个证明
若${a_n}$单调递减趋于0，$\sum a_n\sin n\theta$ 一致收敛当且仅当 $na_n$ 趋于0。
这个题目就是森林数学分析第三册上的例子13.1.18, 充分性十分简单，这里写一个充分性的证明方法：
由于是周期函数还是奇函数，并且当$\theta = n\pi (n\in\mathbb{N})$ 显然一致收敛，考虑 $\theta \in (0,\pi)$：
固定一个$\theta$，令$p=\lfloor\frac\pi\theta\rfloor$:
对于
\[\sum_{k=n}^m{a_n\sin n\theta}\]把它分成两个部分，分为 $k\leqslant p$ 和 $k> p$ 两个部部分，记做$A(\theta)$(可能是0)和 $B(\theta)$。
如果$n\leqslant p$
\[\begin{aligned} A(\theta)& = \sum_{k=n}^p {a_k\sin k\theta} \leqslant \sum_{k=n}^q {a_k\cdot k\theta} \\ &\leqslant p\theta \cdot \max_{n\leqslant k\leqslant q}ka_k <\pi \max_{n\leqslant k\leqslant q}ka_k \end{aligned}\]由于${na_n}$收敛到0，$n$充分大的时候有$na_n<{\varepsilon \over 2\pi}$。
这时$A(\theta)<{\varepsilon\over 2}$。
如果
现在考虑$B(\theta)$，如果$p+1<n$就令$p=n-1$，有
\[B(\theta) = \sum_{k=p+1}^m {a_k\sin k\theta} \\\]令$S_n=\sum_n\sin n \theta$，有
\[|S_n|= \left| {\sin{n\theta\over2}\sin{(n+1)\theta\over2}\over\sin(\theta/2)} \right|\leqslant {2\over\theta}\]于是由Abel变换以及${a_n}$的单调性可知
\[\begin{aligned} B(\theta) &\leqslant a_mS_m-a_{p+1}S_p+\sum_{k=p+1}^{m-1}(a_k-a_{k+1})S_k\\ |B(\theta)| &\leqslant |a_mS_m|+|a_{p+1}S_p|+\sum_{k=p+1}^{b-1}(a_k-a_{k+1})|S_k|\\ &\leqslant {2\over\theta}(a_m+a_{p+1}+a_{p+1}-a_m) \leqslant {4\over\theta}a_{p+1}\\ &\leqslant {4\over\theta(p+1)}(p+1)a_{p+1} < {4\over\pi} (p+1)a_{p+1} \end{aligned}\]于是$p+1\geqslant n$总是成立，由于${na_n}$收敛到0，n充分大的时候有$(p+1)a_{p+1}<{\pi \over 8}$进而$|B(\theta)|<{\varepsilon\over 2}$。
所以
\[\left|\sum_{k=n}^m{a_n\sin n\theta}\right|\leqslant A(\theta)+|B(\theta)|<\epsilon\]进而一致收敛。