区间上的估计
在利用Lagrange插值法来在一个闭区间区间上逼近一个函数$f(x)\in C^{n+1}[a,b]$的时候，在这个区间上那些非$x_i$的点，我们有对误差的估计
\[r_n(x)=f(x)-p_n(x) = {f^{(n+1)}(\xi)\over (n+1)!}\omega_{n+1}(x)\]其中$\omega_{n+1}=\prod_{i=0}^{n}(x-x_i)$ 而 $\xi$是区间上取决于$x$一个点
这个等式的证明借助了一个辅助函数
\[g(t)=f(t)-p_n(t)-{f(x)-p_n(x)\over \omega_{n+1}(x)}\omega_{n+1}(t)\]不难发现$x_i$和$x$共$n+1$个点都是g(x)的零点，反复运用Rolle中值定理，最后可以得到存在区间上的一点$\xi$使得
\[g^{(n+1)}(\xi)=0 =f^{(n+1)}(\xi)-(n+1)!{f(x)-p_n(x) \over \omega_{n+1}(x)}\]经过整理就能得到我们想要的结论。
利用这个估计，我们也可以说明对一个$n$次多项式的$n$次甚至更高次插值得到的函数就是这个多项式本身。
幂级数
这个时候，我们从整个域$\mathbb{C}$上看，他们也是相等的！那不妨把眼光放远一点，看看比多项式更大的“东西”，比如说一个幂级数，还能有这样的结果吗？令
\[f(x)=\sum_{i=0}^\infty \alpha_ix^i\quad p_n(x)=\sum_{i=0}^{\infty} a_{n,i}x^i\]当$i>n$时候$a_{n,i}=0$，我们先希望f(x)的收敛半径足够大，如果$p_n(x)$在一个区间上一致收敛到$f(x)$，我们容易得到每一个$a_{n,i}$都分别收敛到$\alpha_i$。
于是乎我们希望$p_n(x)$能够在区间上一致收敛到$f(x)$。我们让区间长度为$r=b-a$，不难发现对于区间上的$x$,$\omega_{n+1}(x)<d^{n+1}$，不妨贪心一点，我们假设区间上的每一个$\xi$都有
\[\lim_{n\to \infty}{f^{(n+1)}(\xi)\over (n+1)!}r^{n+1} = 0\]这不就是$f(x)$换在$\xi$这一点展开之后的幂级数的第$n+1$项在某点的值吗？只要收敛半径足够大（区间上每一点至少都大于r），余项就能一致收敛到0！
复平面上的函数
但是我们上述的讨论还是只是在一个区间上面的情况，我们希望它能走的更远一点，在这个区间之外的某个点上也能够收敛到这个幂级数，怎么办呢？
幂级数……应该是某个全纯函数的一部分吧，所以我们不妨再进一步，把眼光从一个小区间上，移动到复平面上的一个有界集上。
我们先观察$p(x)$的形式（后文省略下标n和n+1）：
\[p(x)=\sum_{i=0}^nf(x_i)l_i(x)=\sum_{i=0}^n{f(x_i)\omega(x)\over(x-x_i)\omega'(x_i)}\]神奇的事情是
\[{f(x_i)\omega(x)\over(x-x_i)\omega'(x_i)} = \mathop{\mathrm{Res}}\left({\omega(x)f(t)\over \omega(t)(x-t)};x_i\right)\]同时
\[f(x) = -\mathop{\mathrm{Res}}\left({\omega(x)f(t)\over \omega(t)(x-t)};x\right)\]我们寻找一个可以包围$x_i$和$x$，并且在$f(x)$的定义域内的曲线$\Gamma$，利用留数定理，就能得到如下结果
\[f(x)-p(x) = 2\pi i\int_{\Gamma}{\omega(x)f(\gamma)\over \omega(\gamma)(x-\gamma)}\mathrm{d}\gamma\]这就是Hermite积分公式，它给了我们对于一个n次插值更大范围的估计。
整函数的插值
我们前面提到，我们希望这个“幂级数”收敛半径足够大，那就先看看整函数，我们在一个有界集里面$L$中对$f$进行插值，对于每一个有界集$D$，我们让这两个集合的最大距离$l = \sup\{d(x,y)\vert x\in D,y\in L\}$ ，根据定义，$\omega(x)\leq l^{n+1}$，我们挑选一个足够“大”的$\Gamma$，让其上点距离$D$的下界$m>l$那么我们就能得到
\[|f(x)-p(x)|\leq C\left(l\over m\right)^{n+1}\]其中 $C=2\pi\sup_{x\in\Gamma}f(x)\Vert\Gamma\Vert$ 。这说明在每一个有界集上，在一个有界集内的插值都是一致收敛到$f(x)$的。